Бесконечная решетка кристалла определяется только свойствами изометричных преобразований трехмерного евклидового пространства E3, поэтому, для кристалла не существует «внешней» границы. Для наноструктур (биологических и других упорядоченных некристаллических структур) необходимо учитывать и наличие внешних границ, что приводит к замене ограничения на бесконечность структуры требованиями локальной минимальности соответствующих многообразий и др. В результате наноструктура не сводится к объединению фрагментов кристаллов, а определяется как единый объект, которому может быть сопоставлено упорядоченное подмножество векторов в E3, определяемое соответствующей конструкцией алгебраической геометрии. Такая конструкция характеризуется своими инвариантами, задающими «внутренние топологические параметры» рассматриваемой структуры. Использование этих параметров необходимо, в частности, и при расчете минимумов энергии, т.к. учет лишь взаимодействия между атомами (молекулами и т.п.), может приводить к нереализуемым или нестабильным системам.
Особую роль среди используемых конструкций алгебраической геометрии играет 8-мерная решётка корней Е8 максимальной исключительной алгебры Ли e8, которая является решёткой октав (замыкающих ряд возможных чисел: действительные - комплексные - кватернионы - октавы) и может рассматриваться как 8-мерная алмазная структура. В E8 вкладываются и конечные проективные плоскости PG(2,q),
Одним из путей образования в E3 упорядоченной структуры является объединение особых геликоидов (стержней), винтовые оси которых определяются внутренними топологическими параметрами. Возможность упорядоченной сборки таких геликоидов предполагает существование определенной высокосимметричной (охватывающей) конструкции, которая определяла бы как геликоиды, так и закон их сборки. В простейшем случае, когда охватывающей конструкцией является федоровская группа, получаем сборку в кристалл геликоидов с кристаллографическими осями. Если охватывающей конструкцией является E8, то ее подструктуры можно соотнести с геликоидами, оси которых осуществляют вращение на угол (360°/p)·d. Порядок p/d оси геликоида определяется только инвариантами подалгебр, вкладывающихся в e8, поэтому геликоиды с такими осями образуют особый класс – класс геликоидов Госсета. Подчеркнем, что прообразами кристаллографических геликоидальных подструктур могут быть и некристаллографические геликоиды Госсета. Например, геликоид Госсета с осью 15/4 (вращение на 96°) из идеальных додекаэдров (икосаэдров) незначительными деформациями додекаэдров (икосаэдров) трансформируется в геликоид с кристаллографической винтовой осью 41 (вращение на 90°). Объединение таких геликоидов приводит к образованию кубического кристалла клатрата – IX (beta-Mn).
Развиваемый подход, который можно назвать локальным, значительно расширяет возможные виды преобразований в E3 (в том числе за счет использования локальных элементов упорядочения и локальной евклидовости многих неевклидовых геометрий) и позволяет априори выводить упорядоченные тетракоординированные и тетраэдрические структуры. Применение весьма сложных конструкций алгебраической геометрии является необходимой платой за решение проблемы взаимосвязи топологических инвариантов системы с ее физическими свойствами.